The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
add/0

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(8) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
app(gen_nil:add2_0(0), gen_nil:add2_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:add2_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add2_0(+(n4_0, 1)), gen_nil:add2_0(b)) →_R^Ω(1)
add(app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b))) →_IH
add(gen_nil:add2_0(+(b, c5_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuffle

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)

Induction Base:
reverse(gen_nil:add2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
reverse(gen_nil:add2_0(+(n499_0, 1))) →_R^Ω(1)
app(reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)), add(nil)) →_IH
app(gen_nil:add2_0(c500_0), add(nil)) →_L^{Ω(1 + n499₀)}
gen_nil:add2_0(+(n499_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
shuffle

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0)) → gen_nil:add2_0(n727_0), rt ∈ Ω(1 + n727₀ + n727₀² + n727₀³)

Induction Base:
shuffle(gen_nil:add2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
shuffle(gen_nil:add2_0(+(n727_0, 1))) →_R^Ω(1)
add(shuffle(reverse(gen_nil:add2_0(n727_0)))) →_L^{Ω(1 + n727₀ + n727₀2)}
add(shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0))) →_IH
add(gen_nil:add2_0(c728_0))

We have rt ∈ Ω(n³) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n³).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)
shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0)) → gen_nil:add2_0(n727_0), rt ∈ Ω(1 + n727₀ + n727₀² + n727₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0)) → gen_nil:add2_0(n727_0), rt ∈ Ω(1 + n727₀ + n727₀² + n727₀³)

(19) BOUNDS(n^3, INF)

(20) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)
shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0)) → gen_nil:add2_0(n727_0), rt ∈ Ω(1 + n727₀ + n727₀² + n727₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n727_0)) → gen_nil:add2_0(n727_0), rt ∈ Ω(1 + n727₀ + n727₀² + n727₀³)

(22) BOUNDS(n^3, INF)

(23) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
reverse(gen_nil:add2_0(n499_0)) → gen_nil:add2_0(n499_0), rt ∈ Ω(1 + n499₀ + n499₀²)

(25) BOUNDS(n^2, INF)

(26) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(28) BOUNDS(n^1, INF)